Bài toán [Phương pháp S-S trong chứng minh BĐT]

Originally posted on Juliel's Blog:

Bài toán: Cho các số dương $latex a,b,c$. Chứng minh rằng :

$latex dfrac{abc}{a^3+b^3+c^3}+dfrac{2}{3}geq dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$

Lời giải :

Viết BĐT thành :

$latex 1-dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}geq dfrac{1}{3}-dfrac{abc}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}Leftrightarrow dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}geq dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}$

Nhận xét rằng ta có các đẳng thức sau :

$latex a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)$

$latex a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a-b)^{2}+(a+b)(a-c)(b-c)$

Do đó cần chứng minh :

$latex dfrac{(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}geq dfrac{(a+b+c)(a-b)^{2}+(a+b)(a-c)(b-c)}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}Leftrightarrow left ( dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-dfrac{a+b+c}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})} right )(a-b)^{2}+left ( dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-dfrac{a+b}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})} right )(a-c)(b-c)geq 0Leftrightarrow A.(a-b)^{2}+B.(a-c)(b-c)geq 0qquad(*)$

Ta sẽ chứng minh $latex A,Bgeq 0$ dễ thấy chỉ cần chứng minh $latex A=dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-dfrac{a+b+c}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}geq 0$ là đủ vì $latex Bgeq A$.

Thật vậy,

$latex A=dfrac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})-(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{3}+b^{3}+c^{3})}$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $latex ageq bgeq c>0$

Áp dụng  BĐT $latex Chebyshev$ với hai dãy cùng chiều $latex (a;b;c);(a^{2};b^{2};c^{2})$ thì :$latex 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})geq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})Rightarrow Ageq 0Rightarrow A,Bgeq 0$

Mà ta có $latex ageq bgeq c>0 Rightarrow (a-c)(b-c)geq 0Rightarrow A.(a-b)^{2}+B.(a-c)(b-c)geq 0$

Ta có $latex (*)$, đây là đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $latex a=b=c$

View original

Inequality

Originally posted on Juliel's Blog:

Bài toán(Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Thăng Long, Lâm Đồng)

Cho $latex a,b,c$ dương. Chứng minh rằng :

$latex dfrac{a^2}{b}+dfrac{b^2}{c}+dfrac{c^2}{a}geq a+b+c+dfrac{1}{b+c}(a-b)^2+dfrac{1}{c+a}(b-c)^2+dfrac{1}{a+b}(c-a)^2$

Lời giải :

Chú ý rằng ta có :

$latex dfrac{a^2}{b}+b-2a=dfrac{(a-b)^2}{b}$

Từ đó ta xây dựng được đẳng thức :

$latex dfrac{a^2}{b}+dfrac{b^2}{c}+dfrac{c^2}{a}-(a+b+c)=dfrac{(a-b)^2}{b}+dfrac{(b-c)^2}{c}+dfrac{(c-a)^2}{a}$

Như vậy điều cần chứng minh có thể viết dưới dạng :

$latex dfrac{(a-b)^2}{b}+dfrac{(b-c)^2}{c}+dfrac{(c-a)^2}{a}geq dfrac{1}{b+c}(a-b)^2+dfrac{1}{c+a}(b-c)^2+dfrac{1}{a+b}(c-a)^2Leftrightarrow Leftrightarrow dfrac{c}{b+c}(a-b)^2+dfrac{a}{c+a}(b-c)^2+dfrac{b}{a+b}(c-a)^2geq 0$

Điều này là hiển nhiên. Ta có điều phải chứng minh

View original

Phương pháp phân tích bình phương S.O.S và phương pháp bán Schur bán S.O.S

Originally posted on Juliel's Blog:

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG S.O.S TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

A. ĐỊNH LÍ SOS :

Cho $latex S=f(a,b,c)=S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2+S_c(a-b)^2$

Trong đó $latex S_a,S_b,S_c$ là các hàm số của $latex a,b,c$

1. Nếu $latex S_{a},S_{b},S_cgeq 0$ thì $latex Sgeq 0$

2. Nếu $latex ageq bgeq c$ và $latex S_{b},S_{b}+S_{a}geq 0,S_{b}+S_{c}geq 0$ thì $latex Sgeq 0$

3. Nếu $latex ageq bgeq c$ và $latex S_{a},S_{c},S_{a}+2S_{b},S_{c}+2S_{b}geq 0$ thì $latex Sgeq 0$

4. Nếu $latex ageq bgeq c$ và $latex S_b,S_c,a^2S_b+b^2S_ageq 0$ thì $latex Sgeq 0$

5. Nếu $latex S_{a}+S_{b}+S_c,S_aS_b+S_bS_c+S_cS_ageq 0$

B. MỘT SỐ ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG :

1. $latex a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$

2. $latex dfrac{a}{b}+dfrac{b}{a}-2=dfrac{(a-b)^2}{ab}$

3. $latex a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a-b)^2$

4. $latex a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=dfrac{1}{2}left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 right ]$

5. $latex a^{2}+b^2+c^2-dfrac{1}{3}left ( a+b+c right )^2=dfrac{1}{3}left [ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 right ]$

6. $latex (a+b)(b+c)(c+a)-8abc=a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2$

7. $latex a^3+b^3+c^3-3abc=dfrac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$

8. $latex sqrt{2(a^2+b^2)}-(a+b)=dfrac{(a-b)^2}{a+b+sqrt{2(a^2+b^2)}}$

9. $latex dfrac{a}{b+c}+dfrac{b}{c+a}+dfrac{c}{a+b}-dfrac{3}{2}=dfrac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)}+dfrac{(b-c)^2}{2(b+a)(c+a)}+dfrac{(c-a)^2}{2(c+b)(a+b)}$

10. $latex (a+b+c)^3-27abc=left ( dfrac{7a+b+c}{2} right )(b-c)^2+left ( dfrac{a+7b+c}{2} right )(c-a)^2+left ( dfrac{a+b+7c}{2} right )(a-b)^2$

11. $latex a^{3}+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)=left ( dfrac{b+c-a}{2} right )(b-c)^2+left ( dfrac{c+a-b}{2} right )(c-a)^2+left ( dfrac{a+b-c}{2} right )(a-b)^2$

12. $latex a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c)=dfrac{(a-b)^2left [ (a+b)^2+c^2 right ]}{2}+dfrac{(b-c)^2left [ (b+c)^2+a^2…

View original 60 more words

Một số bài toán hình ôn thi vào lớp 10 chuyên toán (tiếp theo và hết)

Originally posted on Hình học phổ thông:

Bài 7. Cho đường tròn tâm O bán kính R. A là một điểm thỏa OA = 2R. Từ A vẽ đến (O) các tiếp tuyến AB và AC (B, C là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi qua A sao cho cắt (O) tại D và E (D nằm giữa A và E). Gọi F là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ODE luôn qua một điểm cố định khác O và chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác thuộc một đường thẳng cố định.

b) Tính AD khi FE = 2FD.

c) Gọi L là trung điểm DE, đường thẳng qua L vuông góc OA cắt DF tại M. Chứng minh M luôn thuộc một đường cố định khi cát tuyến thay đổi.

Hướng dẫn giải.

4

a) Chứng minh được $latex AD.AE =…

View original 440 more words

Một số bài toán hình ôn thi vào lớp 10 chuyên toán (tt)

Originally posted on Hình học phổ thông:

Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB, C thuộc (O) sao cho AC < AB. Gọi D là hình chiếu của C trên AB, E, F lần lượt là hình chiếu của D trên BC và AC.

a) Chứng minh AFEB nội tiếp. Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFEB. Chứng minh $latex KO = dfrac{1}{2} CD $

b) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính CD với (O). Chứng minh P, D, K thẳng hàng.

c) Gọi Q là giao điểm của CP và EF. Chứng minh Q thuộc đường thẳng BC.

Hướng dẫn giải.

2

a) Chứng minh CF.CA = CE.CB, suy ra AFEB nội tiếp. Gọi K là tâm đường tròn, H  là trung điểm AD. Khi đó KO, KH lần lượt là trung trực của AB và EF. Suy ra $latex KO bot AB…

View original 479 more words

Một số bài toán hình ôn thi vào chuyên toán

Originally posted on Hình học phổ thông:

Chỉ còn hơn một tháng nữa là các em lớp 9 bước vào kì thi tuyển sinh vào lớp 10 đầy cam go, thời điểm này là lúc ôn luyện tốt nhất khi chỉ tập trung vào các môn thi tuyển. Nhân đây hinh99  xin gửi đến các bạn một số bài toán hình để các bạn có thêm một nguồn bài tập tham khảo để chuẩn bị tốt hơn cho kì thi sắp tới. Vì thời gian không được nhiều nên mỗi lần chỉ xin được đăng một bài kèm với hướng dẫn giải.

Bài 1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn tâm E thay đổi luôn qua A và O, (E) cắt AB và AC tại P và Q.

a)     Tìm vị trí của điểm E để PQ có độ dài nhỏ nhất.

b)     Gọi H là hình chiếu của O trên PQ. Chứng minh rằng H…

View original 492 more words

Sequence – Limit

Originally posted on Juliel's Blog:

Bài toán :(Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2001 THPT Chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên)

Cho dãy $latex (x_n)$ xác định bởi 

$latex left{begin{matrix} x_1=1 x_{n+1}=dfrac{x_n}{2+sqrt{3+x_n^2}} end{matrix}right.$

a) Xác định số hạng tổng quát của $latex (x_n)$.

b) Chứng minh rằng số $latex dfrac{x_n^2}{x_{2n}^2}-2$ có thể biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi số nguyên dương $latex n$.

Lời giải :

a) Gỉa thiết đã cho có thể viết dưới dạng :

$latex dfrac{1}{x_{n+1}}=dfrac{2}{x_n}+sqrt{dfrac{3}{x_n^2}+1}$

Ta đặt $latex u_n=dfrac{1}{x_n}$ ta được dãy $latex (u_n)$ :

$latex u_{n+1}=2u_n+sqrt{3u_n^2+1}Leftrightarrow (u_{n+1}-2u_n)^2=3u_n^2+1Leftrightarrow u_{n+1}^2-4u_{n+1}u_n+u_n^2-1=0$

Thay $latex n$ bởi $latex n+1$ ta được :

$latex u_{n+2}^2-4u_{n+2}u_{n+1}+u_{n+1}^2-1=0$

Như vậy thì $latex u_{n},u_{n+2}$ là hai nghiệm của phương trình :

$latex x^2-4xu_{n+1}+u_{n+1}^2-1=0$

Theo định lí $latex Viete$ ta có :

$latex u_{n+2}+u_n=4u_{n+1}Rightarrow u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n$

Xét phương trình đặc trưng :

$latex lambda ^{2}-4lambda +1=0Leftrightarrow lambda _1=2+sqrt{3},lambda _2=2-sqrt{3}$

Do vậy mà $latex u_n=k(2+sqrt{3})^n+l(2-sqrt{3})^n$

View original 75 more words