Sequence – Limit

Huy Cao's Blog

Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 327) 

Cho hai dãy số $latex (x_n),(y_n)$ thỏa mãn $latex x_1=1,y_1=1$ và :

$latex left{begin{matrix} x_{n+1}=-3x_n^2-2x_ny_n+8y_n^2 y_{n+1}=2x_n^2+3x_ny_n-2y_n^2 end{matrix}right.$

Tìm tất cả các số nguyên tố $latex p$ sao cho $latex x_p+y_p$ không chia hết cho $latex p$.

Lời giải :

Ta có :

$latex x_{n+1}+2y_{n+1}=(-3x_n^2-2x_ny_n+8y_n^2)+2(2x_n^2+3x_ny_n-2y_n^2)=(x_n+2y_n)^2=(x_{n-1}+2y_{n-1})^{2^2}=…=(x_1+2y_{1})^{2^n}=1;;;;;(1)$

Dễ dàng chỉ ra được $latex y_nneq 0,;forall nin mathbb{N}^*$. Từ đó ta có :

$latex dfrac{x_{n+1}}{y_{n+1}}=dfrac{-3x_n^2-2x_ny_n+8y_n^2}{2x_n^2+3x_ny_n-2y_n^2}=-dfrac{(3x_n-4y_n)(x_n+2y_n)}{(2x_n-y_n)(x_n+2y_n)}=-dfrac{3x_n-4y_n}{2x_n-y_n}$

Đặt $latex a_n=dfrac{x_n}{y_n}$ ta được :

$latex a_{n+1}=dfrac{3a_n-4}{2a_n-1}$

Lại đặt $latex a_n=u_n+1$ thay vào công thức trên ta được :

$latex u_{n+1}+1=dfrac{4-3(u_n+1)}{2(u_n+1)-1}Leftrightarrow u_{n+1}=dfrac{-5u_n}{2u_n+1}Leftrightarrow dfrac{1}{u_{n+1}}=dfrac{-2}{5}+dfrac{-1}{5u_n}$

Đến đây dễ dàng tìm được $u_n$, từ  đó tìm được :

$latex a_n=dfrac{1-4.(-5)^{n-1}}{1+2.(-5)^{n-1}}=dfrac{x_n}{y_n};;;;(2)$

Từ $latex (1)(2)$ ta tìm được :

$latex x_n=dfrac{1-4.(-5)^{n-1}}{3},y_n=dfrac{1+2.(-5)^{n-1}}{3}$

Kéo theo :

$latex x_n+y_n=dfrac{2-2.(-5)^{n-1}}{3}$

Nhận thấy $latex p=2$ không thỏa mãn. Xét $latex p=3,p=5$ thỏa mãn. Xét $latex p>5$. Theo định lí Fermat nhỏ thì :

$latex (-5)^{p-1}equiv 1;(mod;p)$

Từ đó $latex x_p+y_pequiv 0;(mod;p)$

View original post 10 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s