Sequence – Limit

Huy Cao's Blog

Bài toán(Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 286) 

Xét dãy số $latex (u_n)$ :

$latex left{begin{matrix} u_1=2 u_n=3u_{n-1}+2n^3-9n^2+9n-3,;forall ngeq 2 end{matrix}right.$

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên tố $latex p$ thì tổng $latex 2000(u_1+u_2+…+u_{p-1})$ chia hết cho $latex p$.

Lời giải :

Ta chọn đa thức $latex f(n)$ bậc ba :

$latex f(n)=an^3+bn^2+cn+d,;(aneq 0)$

Thỏa mãn :

$latex 2n^3-9n^2+9n-3=f(n)-3f(n-1)Leftrightarrow 2n^3-9n^2+9n-3=-2an^3+(9a-2b)n^2+(6b-9a-2c)n+(3a+3c-3b-2d)=0Leftrightarrow a=-1,b=c=d=0$

Đặt $latex v_n=u_n-f(n)=u_n+n^3$

Thay vào công thức xác định dãy :

$latex v_n-n^3=3(v_{n-1}-(n-1)^3)+2n^3-9n^2+9n-3Leftrightarrow v_n=3v_{n-1}$

Ta tính được $latex v_1=3$, từ đó mà :

$latex v_n=3^{n-1}v_1=3^n$

Suy ra :

$latex u_n=3^n-n^3$

Do đó :

$latex u_1+u_2+…+u_{p-1}=(3+3^2+3^3+…+3^{p-1})-(1+2^3+3^3+…+(p-1)^3)=dfrac{3^p-3}{2}-left ( dfrac{p(p-1)}{2} right )^2Rightarrow 2000(u_1+u_2+…+u_{p-1})=1000(3^p-3)-500p^2(p-1)^2$

Theo định lí Fermat nhỏ thì :

$latex pmid 3^p-3$

Từ đó dễ thấy được điều phải chứng minh

View original post

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s