Sequence – Limit

Huy Cao's Blog

Bài toán :(Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2001 THPT Chuyên Lương Văn Chánh, Phú Yên)

Cho dãy $latex (x_n)$ xác định bởi 

$latex left{begin{matrix} x_1=1 x_{n+1}=dfrac{x_n}{2+sqrt{3+x_n^2}} end{matrix}right.$

a) Xác định số hạng tổng quát của $latex (x_n)$.

b) Chứng minh rằng số $latex dfrac{x_n^2}{x_{2n}^2}-2$ có thể biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp với mọi số nguyên dương $latex n$.

Lời giải :

a) Gỉa thiết đã cho có thể viết dưới dạng :

$latex dfrac{1}{x_{n+1}}=dfrac{2}{x_n}+sqrt{dfrac{3}{x_n^2}+1}$

Ta đặt $latex u_n=dfrac{1}{x_n}$ ta được dãy $latex (u_n)$ :

$latex u_{n+1}=2u_n+sqrt{3u_n^2+1}Leftrightarrow (u_{n+1}-2u_n)^2=3u_n^2+1Leftrightarrow u_{n+1}^2-4u_{n+1}u_n+u_n^2-1=0$

Thay $latex n$ bởi $latex n+1$ ta được :

$latex u_{n+2}^2-4u_{n+2}u_{n+1}+u_{n+1}^2-1=0$

Như vậy thì $latex u_{n},u_{n+2}$ là hai nghiệm của phương trình :

$latex x^2-4xu_{n+1}+u_{n+1}^2-1=0$

Theo định lí $latex Viete$ ta có :

$latex u_{n+2}+u_n=4u_{n+1}Rightarrow u_{n+2}=4u_{n+1}-u_n$

Xét phương trình đặc trưng :

$latex lambda ^{2}-4lambda +1=0Leftrightarrow lambda _1=2+sqrt{3},lambda _2=2-sqrt{3}$

Do vậy mà $latex u_n=k(2+sqrt{3})^n+l(2-sqrt{3})^n$

View original post 75 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s