Sequence – Limit

dfad

Huy Cao's Blog

Bài toán  (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 262)

Cho dãy $latex (a_n)$ xác định bởi :

$latex left{begin{matrix} a_0=2 a_{n+1}=4a_n+sqrt{15a_n^2-60},;forall ngeq 1 end{matrix}right.$

Hãy xác định công thức tổng quát của dãy và chứng minh rằng số $latex dfrac{1}{5}(a_{2n}+8)$ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp.

Lời giải :

Ta biến đổi :

$latex (a_{n+1}-4a_n)^2=15a_n^2-60Leftrightarrow a_{n+1}^2-8a_na_{n+1}+a_n^2+60=0;;;(1)$

Thay $latex n$ bởi $latex n-1$ ta được :

$latex a_n^2-8a_na_{n-1}+a_{n-1}^2+60=0;;;(2)$

Từ $latex (1)(2)$ ta suy ra $latex a_{n+1},a_{n-1}$ là hai nghiệm của phương trình :

$latex x^2-8a_nx+a_n^2+60=0$

Theo định lí Viete thì ta được $latex a_{n+1}+a_{n-1}=8a_n$ hay $latex a_{n+1}=8a_n-a_{n-1}$.

Phương trình đặc trưng của dãy :

$latex x^2-8x+1=0Leftrightarrow x=4pm sqrt{15}$

Ta được :

$latex a_n=k(4+sqrt{15})^n+l(4-sqrt{15})^n$

Do $latex a_0=2,a_1=8$ nên ta dẫn đến hệ :

$latex left{begin{matrix} k+l=2 k(4+sqrt{15})+l(4-sqrt{15})=8 end{matrix}right.Leftrightarrow k=l=1$

Thu được :

$latex a_n=(4+sqrt{15})^n+(4-sqrt{15})^n$

Đặt $latex A=(4+sqrt{15})^n,B=(4-sqrt{15})^nRightarrow AB=1$.

Dễ thấy phải tồn tại…

View original post 29 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s