Bài toán [Phương pháp S-S trong chứng minh BĐT]

Huy Cao's Blog

Bài toán: Cho các số dương $latex a,b,c$. Chứng minh rằng :

$latex dfrac{abc}{a^3+b^3+c^3}+dfrac{2}{3}geq dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$

Lời giải :

Viết BĐT thành :

$latex 1-dfrac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}geq dfrac{1}{3}-dfrac{abc}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}Leftrightarrow dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}geq dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}$

Nhận xét rằng ta có các đẳng thức sau :

$latex a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca=(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)$

$latex a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a-b)^{2}+(a+b)(a-c)(b-c)$

Do đó cần chứng minh :

$latex dfrac{(a-b)^{2}+(a-c)(b-c)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}geq dfrac{(a+b+c)(a-b)^{2}+(a+b)(a-c)(b-c)}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}Leftrightarrow left ( dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-dfrac{a+b+c}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})} right )(a-b)^{2}+left ( dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-dfrac{a+b}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})} right )(a-c)(b-c)geq 0Leftrightarrow A.(a-b)^{2}+B.(a-c)(b-c)geq 0qquad(*)$

Ta sẽ chứng minh $latex A,Bgeq 0$ dễ thấy chỉ cần chứng minh $latex A=dfrac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-dfrac{a+b+c}{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})}geq 0$ là đủ vì $latex Bgeq A$.

Thật vậy,

$latex A=dfrac{3(a^{3}+b^{3}+c^{3})-(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{3}+b^{3}+c^{3})}$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $latex ageq bgeq c>0$

Áp dụng  BĐT $latex Chebyshev$ với hai dãy cùng chiều $latex (a;b;c);(a^{2};b^{2};c^{2})$ thì :$latex 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})geq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})Rightarrow Ageq 0Rightarrow A,Bgeq 0$

Mà ta có $latex ageq bgeq c>0 Rightarrow (a-c)(b-c)geq 0Rightarrow A.(a-b)^{2}+B.(a-c)(b-c)geq 0$

Ta có $latex (*)$, đây là đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $latex a=b=c$

View original post

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s