Inequality

Huy Cao's Blog

Bài toán(Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Thăng Long, Lâm Đồng)

Cho $latex a,b,c$ dương. Chứng minh rằng :

$latex dfrac{a^2}{b}+dfrac{b^2}{c}+dfrac{c^2}{a}geq a+b+c+dfrac{1}{b+c}(a-b)^2+dfrac{1}{c+a}(b-c)^2+dfrac{1}{a+b}(c-a)^2$

Lời giải :

Chú ý rằng ta có :

$latex dfrac{a^2}{b}+b-2a=dfrac{(a-b)^2}{b}$

Từ đó ta xây dựng được đẳng thức :

$latex dfrac{a^2}{b}+dfrac{b^2}{c}+dfrac{c^2}{a}-(a+b+c)=dfrac{(a-b)^2}{b}+dfrac{(b-c)^2}{c}+dfrac{(c-a)^2}{a}$

Như vậy điều cần chứng minh có thể viết dưới dạng :

$latex dfrac{(a-b)^2}{b}+dfrac{(b-c)^2}{c}+dfrac{(c-a)^2}{a}geq dfrac{1}{b+c}(a-b)^2+dfrac{1}{c+a}(b-c)^2+dfrac{1}{a+b}(c-a)^2Leftrightarrow Leftrightarrow dfrac{c}{b+c}(a-b)^2+dfrac{a}{c+a}(b-c)^2+dfrac{b}{a+b}(c-a)^2geq 0$

Điều này là hiển nhiên. Ta có điều phải chứng minh

View original post

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s