[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Huy Cao's Blog

Bài toán: Giải phương trình nghiệm nguyên $latex x^{2}+xy=y^2+xz$

Lời giải :

Viết phương trình dưới dạng một phương trình bậc hai có ẩn $latex x$ : $latex x^2+(y-z)x-y^2=0;;;(*)$

Xét biệt thức $latex Delta =(y-z)^2+4y^2$

Để $latex (*)$ có nghiệm nguyên thì điều kiện cần là $latex Delta$ là một số chính phương.

Đặt $latex Delta =(y-z)^2+(2y)^2=t^2$ với $latex t$ là số nguyên dương. Đây chính là phương trình $latex Pythagoras$, xét số nguyên $latex k$ và các số nguyên dương $latex m,n$nguyên tố cùng nhau, khác tính chẵn lẻ và $latex m>n$.

$latex blacksquare$ Trường hợp 1 : Nếu $latex y-z>0$ và $latex 2y>0$

Ta có $latex left{begin{matrix} y-z=k(m^2-n^2) 2y=k.2mn t=k(m^2+n^2) end{matrix}right.$

Từ đây ta có $latex y=kmn,z=k(mn-m^2+n^2)$. Khi đó thì $latex x=dfrac{-(y-z)pm sqrt{Delta }}{2}=dfrac{k(n^2-m^2)pm k(m^2+n^2)}{2}=kn^2;vee -km^2$

$latex blacksquare$ Trường hợp 2: Nếu $latex y-z<0$ và $latex 2y<0$

Ta có $latex left{begin{matrix} y-z=-k(m^2-n^2) 2y=-k.2mn t=k(m^2+n^2) end{matrix}right.$

Từ đây ta có $latex y=-kmn,z=k(m^2-n^2-mn)$. Khi đó thì $latex x=dfrac{-(y-z)pm…

View original post 140 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s