Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên]

Huy Cao's Blog

Bài toán : Giải phương trình nghiệm tự nhiên $latex 5^x=y^4+4y+1$

Lời giải : 

Ta sẽ lập luận rằng $latex x$ chỉ có thể chẵn từ đó vế trái là một số chính phương, khi đó ta sẽ dùng phương pháp kẹp để giải quyết bài toán.

Gỉa sử $latex x$ lẻ, khi đó $latex 5^{x}equiv 2(mod3)Rightarrow y^{4}+4yequiv 1(mod3)$

Nhận xét rằng $latex y^{4}equiv 0;1(mod3)$

  • Nếu $latex y^{4}equiv 0(mod3)Rightarrow 4yequiv 1(mod3)Rightarrow yequiv 1(mod3)Rightarrow y^{4}equiv 1(mod3)$. Mâu thuẫn
  • Nếu $latex y^{4}equiv 1(mod3)Rightarrow 4yequiv 0(mod3)Rightarrow yequiv 0(mod3)Rightarrow y^{4}equiv 0(mod3)$. Mâu thuẫn

Suy ra $latex x$ phải chẵn, đặt $latex x = 2k$ với $latex k$ là số tự nhiên, ta được : $latex (5^{k})^{2}=y^{4}+4y+1$

Dễ thấy $latex 4y+1<4y^{2}+4$

Khi đó : $latex y^{4}<y^{4}+4y+1<y^{4}+4y^{2}+4=(y^{2}+2)^{2}Rightarrow y^{4}+4y+1=(y^{2}+1)^{2}Rightarrow 2y(y-2)=0Rightarrow y=2;0$

Kết luận: $latex boxed{(x;y)=(0;0);(2;2)}$

View original post

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s