Bài toán [Phương trình nghiệm nguyên, Bất đẳng thức]

Huy Cao's Blog

Bài toán  : Giải phương trình nghiệm nguyên dương : $latex 4^{y}+4^{y}+2^{xy}-2^{x^{2}}-2^{y^{2}}=16$

Lời giải :

Với $latex x,y,z>0$, ta sẽ chứng minh BĐT :

$latex 2^{x^{2}}+2^{y^{2}}+2^{z^{2}}geq 2^{xy}+2^{yz}+2^{zx}$

Thật vậy, sử dụng bài toán quen thuộc $latex left ( a+b+c right )^{2}geq 3(ab+bc+ca)$, ta có :

$latex left ( 2^{x^{2}}+2^{y^{2}}+2^{z^{2}} right )^{2}geq 3left ( 2^{x^{2}+y^{2}}+2^{y^{2}+z^{2}}+2^{z^{2}+x^{2}} right )geq 3left [ (2^{xy})^{2}+(2^{yz})^{2}+(2^{zx})^{2} right ]geq 3.dfrac{(2^{xy}+2^{yz}+2^{zx})^{2}}{3}=(2^{xy}+2^{yz}+2^{zx})^{2}$

Do đó $latex 2^{x^{2}}+2^{y^{2}}+2^{z^{2}}geq 2^{xy}+2^{yz}+2^{zx}$

Khi $latex z = 2$ ta được : $latex 2^{x^{2}}+2^{y^{2}}+16geq 2^{xy}+2^{2x}+2^{2y}Leftrightarrow 4^{x}+4^{y}+2^{xy}-2^{x^{2}}-2^{y^{2}}leq 16$

Đẳng thức xảy ra khi $latex x=y=z=2$

Kết luận: $latex boxed{(x;y;z)=(2;2;2)}$

View original post

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s