[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên, Định lí phần dư Trung Hoa

Huy Cao's Blog

Bài toán: Chứng minh rằng nếu $latex p_1,p_2,….,p_n$ là các số nguyên tố phân biệt thì phương trình $latex x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+….+x_{n-1}^{p_{n-1}}=x_n^{p_n}$ có vô số nghiệm nguyên dương $latex (x_1,x_2,….,x_n)$

Lời giải :

Ta có đẳng thức hiển nhiên sau : $latex underset{n-1}{underbrace{(n-1)^k+(n-1)^k+….+(n-1)^k}}=(n-1)^{k+1}$

Khi đó ta chọn $latex x_1=(n-1)^{frac{k}{p_1}},x_2=(n-1)^{frac{k}{p_2}},…,x_{n-1}=(n-1)^{frac{k}{p_{n-1}}},x_n=(n-1)^{frac{k+1}{p_n}}$

Thì ta thu được ngay phương trình $latex x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+….+x_{n-1}^{p_{n-1}}=x_n^{p_n}$

Vậy nếu ta chỉ ra được số nguyên dương $latex k$ sao cho $latex x_1,x_2,…,x_n$ đều nguyên thì ta có ngay điều phải chứng minh.

Mà điều này tương đương với hệ sau có nghiệm : $latex left{begin{matrix} kequiv 0;(mod;p_1) kequiv 0;(mod;p_2) …. kequiv 0;(mod;p_{n-1}) kequiv -1;(mod;p_n) end{matrix}right.$

Điều này luôn đúng theo định lí phần dư Trung Hoa vì $latex p_1,p_2,…,p_n$ là các số nguyên tố phân biệt.

View original post

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s