[Bài toán] Phương trình nghiệm nguyên

Huy Cao's Blog

Bài toán: Tìm nghiệm nguyên của phương trình $latex x^4-2y^2=1$.

Lời giải :

Dễ thấy phương trình có các nghiệm tầm thường $latex (1,0),(-1,0)$

Đặt $latex x^2=t$ ta được phương trình $latex t^2-2y^2=1$. Đây chính là phương trình $latex Pell$, nghiệm nhỏ nhất của nó là $latex (3,2)$ nên mọi nghiệm nguyên dương $latex (t_k,y_k)$ của nó được xác định bởi công thức $latex (3+2sqrt{2})^k=t_k+y_ksqrt{2}$.

Nhưng để thỏa mãn phương trình ban đầu có nghiệm nguyên thì $latex t_k$ phải chính phương với mọi $latex k$ nguyên dương.

Xét khai triển

$latex left ( 3+2sqrt{2} right )^{n}=3^n+C_{n}^{1}3^{n-1}.2sqrt{2}+…+(2sqrt{2})^{n}$

Khi đó hiển nhiên

   $latex t_{n}=3^{n}+C_{n}^{2}3^{n-2}(2sqrt{2})^2+…+(2sqrt{2})^{n}equiv 3^{n};;(mod;4)$

Mà vì $latex t_n$ chính phương nên $latex t_{n}equiv 0,1;(mod;4)Rightarrow 3^nequiv 0,1;(mod;4)$. Vậy phải có $latex n$ chẵn.

Vì vậy ta xét khai triển $latex (3+2sqrt{2})^{2k}=t_k+y_{k}sqrt{2}$. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng $latex t_{k}equiv 7;(mod;10)$ và $latex y_k^2equiv 4;(mod;10)$ $latex (*)$

Thật vậy, giả sử điều này…

Xem bài viết gốc 83 từ nữa