Diophantine Equation

Huy Cao's Blog

Bài toán : Chứng minh với mọi số nguyên dương $latex ngeq 2$, phương trình 

$latex left | x^2-17y^2 right |=4^n$

luôn có nghiệm nguyên $latex (x,y)$, trong đó $latex x,y$ đều lẻ.

Lời giải :

Kí hiệu $latex (x_k,y_k)$ là nghiệm của phương trình tại $latex n=k$. Với $latex n=2$, phương trình có nghiệm $latex (x_2,y_2)=(1,1)$.

Gỉa sử $latex (x_n,y_n)$ là cặp số lẻ là nghiệm của phương trình, ta chứng minh quy nạp phương trình cũng có nghiệm $latex (x_{n+1},y_{n+1}$.

Thật vậy, ta có $latex left | left ( dfrac{x_n+17y_n}{2} right )^2-17left ( dfrac{x_n+y_n}{2} right )^2 right |=left | -4x_n^2+68y_n^2 right |=4left | x_n^2-17y_n^2 right |=4.4^n=4^{n+1}$

Tức là cặp số $latex left ( dfrac{x_n+17y_n}{2},dfrac{x_n+y_n}{2} right )$ thỏa mãn phương trình.

Ta cũng có $latex left | left ( dfrac{x_n-17y_n}{2} right )^2-17left ( frac{-x_n+y_n}{2} right )^2 right |=left | -4x_n^2+68y_n^2 right |=4left | x_n^2-17y_n^2 right |=4.4^n=4^{n+1}$

Tức là cặp $latex left ( dfrac{x_n-17y_n}{2},dfrac{-x_n+y_n}{2} right…

View original post 135 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s