Number Theory

Huy Cao's Blog

Bài toán(Turkey Junior Balkan Mathematical Olympiad Team Selection Test 2014)

Tìm tất cả bộ ba các số nguyên dương $latex (a,b,c)$ thỏa mãn :

$latex (a^3+b)(a+b^3)=2^c$

Lời giải :

Nếu $latex a=b$ thì $latex a^2(a^2+1)^2=2^c$. Nhận $latex a=1,c=2$. Nếu $latex a>1$ thì trong hai số $latex a,a^2+1$ sẽ là số lẻ, dẫn đến $latex 2^c$ có chứa ước nguyên tố lẻ. Ta gặp mâu thuẫn

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $latex a>b$.

Từ giả thiết ta được :

$latex a^3+b=2^m,a+b^3=2^n$

Chú ý vì $latex a>b$ nên :

$latex 2^m-2^n=(a^3+b)-(a+b^3)=(a-b)(a^2+ab+b^2-1)> 0Rightarrow m> n$

Từ đó suy ra :

$latex a+b^3mid a^3+b$

Nhưng cũng có $latex a+b^3mid a^3+b^9$. Suy ra $latex a+b^3mid b^9-b$. Hay $latex 2^nmid b^9-b$.

Ta chứng minh $latex a,b$ đều lẻ. Đặt $latex a=2^u.x,b=2^v.y$ với $latex x,y$ nguyên dương lẻ và $latex u,v$ tự nhiên.

Ta được :

$latex 2^{3u}x^3+2^v.y=2^m$

Nếu $latex 3ugeq v$ thì $latex 2^{v}(2^{3u-v}x^3+y)=2^mRightarrow…

View original post 227 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s