Number Theory

Huy Cao's Blog

Bài toán(Balkan Mathematical Olympiad 2009)

Giải phương trình

$latex 3^x-5^y=z^2$

trên tập nghiệm nguyên dương.

Lời giải :

Bằng cách xét modulo $latex 4$ ta được $latex x$ chẵn, đặt $latex x=2k$ với $latex t$ nguyên dương. Ta viết phương trình dưới dạng :

$latex (3^k-z)(3^k+z)=5^y$

Ta gọi $latex d=gcd(3^k-z,3^k+z)$ ta được $latex dmid (3^k-z)+(3^k+z)=2.3^t$. Lại có $latex dmid (3^k-z)(3^k+z)=5^y$. Hai điều này mâu thuẫn nhau.

Như vậy phải có $latex gcd(3^k-z,3^k+z)=1$. Ta được :

$latex 3^k-z=1$ và $latex 3^k+z=5^y$

Dẫn đến :

$latex 2.3^k=5^y+1$

Dễ thấy $latex y=k=1$ thỏa. Ta xét $latex k,x>1$. Đưa về dạng :

$latex 5(5^{y-1}-1)=2.3(3^{k-1}-1)$

Ta có :

$latex 3^{k-1}equiv 1;pmod5Rightarrow 4=ord_5(3)mid k-1$

Từ đó :

$latex 5(5^{y-1}-1)=2.3(3^{k-1}-1);vdots ;2(3^4-1);vdots ;32$

Suy ra :

$latex 5^{y-1}equiv 1;pmod{32}Rightarrow 8=ord_{32}(5)mid y-1$

Kéo theo :

$latex 2.3(3^{k-1}-1)=5(5^{y-1}-1);vdots ;5^8-1;vdots ;13$

Như vậy :

$latex 3^{k-1}equiv 1;pmod{13}Rightarrow 6=ord_{13}(3)mid k-1$

Lại suy ra :

$latex 5(5^{y-1}-1)=2.3(3^{k-1}-1);vdots ;3^6-1;vdots ;7$

Từ đó ta…

View original post 34 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s