Number Theory

Huy Cao's Blog

Bài toán(Korea Final Round 2007)

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $latex (x,y,z)$ thỏa mãn :

$latex 1+4^x+4^y=z^2$

Lời giải :

Không giảm tổng quát, ta giả sử $latex xleq y$.

Nếu $latex 2x<y+1$ thì dễ dàng thấy :

$latex (2^y)^2< z^2=1+4^x+4^y< (2^y+1)^2$

Và đây là điều mâu thuẫn.

Nếu $latex 2x=y+1$ ta được :

$latex 1+4^{(y+1)/2}+4^y=z^2Leftrightarrow z=2^y+1$

Ta được nghiệm $latex (x,y,z)=(t,2t-1,2^{2t-1}+1)$ với $latex t$ là số nguyên dương bất kì.

Nếu $latex 2x>y+1$.

Phương trình đã cho có thể viết thành :

$latex 2^{2x}(4^{y-x}+1)=(z-1)(z+1)$

Vì $latex z$ lẻ nên $latex gcd(z-1,z+1)=2$, từ đó ta được $latex 2^{2x-1}mid z-1$ hoặc $latex 2^{2x-1}mid z+1$.

Nếu mà $latex 2^{2x-1}mid z-1$ ta đặt $latex z=2^{2x-1}.k+1;;(kin mathbb{Z}^+)$. Thay vào phương trình ban đầu :

$latex 1+4^x+4^y=(2^{2x-1}.k+1)^2Leftrightarrow 4^x+4^y=4^{2x-1}k^2+4^xkLeftrightarrow 1+4^{y-x}=4^{x-1}k^2+k$

Vì $latex 2x>y+1$ nên ta có $latex y-x<x-1$, suy ra :

$latex 1+4^{y-x}< 4^{x-1}k^2+k$

Ta gặp mâu thuẫn.

Nếu mà $latex 2^{2x-1}mid z+1$…

View original post 62 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s