Number Theory

Huy Cao's Blog

Bài toán(Germany Team Selection Test 2010)

Tìm các số nguyên dương $latex m,n$ thỏa mãn :

$latex 3^m-7^n=2$

Lời giải :

Xét $latex m=1$, không tìm được $latex m$ thỏa mãn. Xét $latex m=2$ thì được $latex n=1$. Xét $latex mgeq 3$ kéo theo $latex ngeq 2$.

Viết phương trình dưới dạng :

$latex 9(3^{m-2}-1)=7(7^{n-1}-1)$

Từ phương trình trên ta được :

$latex 7^{n-1}equiv 1;(mod;9)Rightarrow 3=ord_9(7)mid n-1$

Từ đó ta được :

$latex 7^{n-1}-1;vdots ;7^3-1;vdots ;19$

Kéo theo :

$latex 3^{m-2}equiv 1;(mod;19)Rightarrow 18=ord_{19}(3)mid m-2$

Lại suy ra được :

$latex 3^{m-2}-1;vdots ;3^{18}-1;vdots ;37$

Do vậy mà :

$latex 7^{n-1}equiv 1;(mod;37)Rightarrow 9=ord_{37}(7)mid m-1$

Dẫn đến :

$latex 3^2(3^{m-2}-1);vdots ;7^{n-1}-1;vdots; 7^9-1;vdots ;27$

Đây là điều mâu thuẫn. Có duy nhất một cặp số thỏa mãn bài ra là $latex (m,n)=(2,1)$

View original post

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s