Number Theory

Huy Cao's Blog

Bài toán(Japan Mathematical Olympiad Finals 2014)

Tìm tất cả các bộ ba $latex (a,b,c)$ với $latex a,b,c$ nguyên dương và thỏa mãn :

$latex 2^a+3^b+1=6^c$

Lời giải :

Xét $latex a=1$ được $latex 3^b+3=6^c$. Nếu $latex b=1$ thì $latex c=1$. Nếu $latex b>1$ thì $latex v_3(6^c)=v_3(3^b+3)=v_3(3(3^{b-1}+1))=1Rightarrow c=1$. Suy ra $latex b=1$, mâu thuẫn. Ta được bộ $latex (1,1,1)$.

Xét $latex a=2$ được $latex 3^b+5=6^cequiv 0;(mod;3)$, mâu thuẫn.

Xét $latex ageq 3$ thì :

$latex 6^c=2^a+3^b+1equiv 2,4;(mod;8)Rightarrow cin left { 1,2 right }$.

Nếu $latex c=1$ thì $latex 2^a+3^b=5$, vô lí vì $latex a geq 3$.

Nếu $latex c=2$ thì $latex 2^a+3^b=35$, thu được $latex a=b=3$.

Đáp số của bài toán là $latex (a,b,c)=(1,1,1),(3,3,2)$

View original post

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s