Number Theory

Huy Cao's Blog

Bài toán(Japan Mathematical Olympiad Finals 2009)

Tìm tất cả các số nguyên dương $latex n$ sao cho $latex 8^n+n$ chia hết cho $latex 2^n+n$.

Lời giải :

Ta có $latex 2^n+nmid 8^n+n^3$, lại theo đề bài thì $latex 2^n+nmid 8^n+n$. Dẫn đến :

$latex 2^n+nmid n^3-n$

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng nếu $latex ngeq 10$ thì :

$latex 2^n> n^3;;;;;;(*)$

Gỉa sử có $latex (*)$. Ta cần chứng minh $latex 2^{n+1}> (n+1)^3$. Do có $latex (*)$ nên ta chỉ cần chứng minh :

$latex 2n^3> (n+1)^3Leftrightarrow n^3> 3n^2+3n+1Leftrightarrow n^2(n-9)+n(n^2-9)+(n^3-3)> 0$

Và vì $latex ngeq 10$ nên điều này luôn đúng. Theo nguyên lí quy nạp ta có :

$latex 2^{n}> n^3,;forall nin mathbb{N},ngeq 10$

Kéo theo $latex 2^n+n> n^3-n$. Thế nhưng lại có $latex 2^n+nmid n^3-nRightarrow n^3-ngeq 2^n+n$. Hai điều này mâu thuẫn nhau.

Từ đó ta có $latex nleq 9$. Thử trực tiếp ta được đáp số của bài toán là :

$latex nin…

View original post 5 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s