Number Theory

Huy Cao's Blog

Bài toán (Turkey TST 2013)

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

$latex m^6=n^{n+1}+n-1$

Lời giải :

Xét $latex n=1$ ta được $latex m=1$.

Xét $latex n>1$. Nếu $latex n+1$ chia hết cho $latex 3$ thì từ phương trình, ta có :

$latex m^{6}=n^{n+1}+n-1=n^{n+1}Rightarrow m^{2}geq n^{frac{n+1}{3}}Rightarrow m^{2}geq n^{frac{n+1}{3}}+1Rightarrow m^{6}geq n^{n+1}+3n^{frac{2n+2}{3}}+3^{frac{n+1}{3}}+1Rightarrow n^{n+1}+n-1geq n^{n+1}+3n^{frac{2n+2}{3}}+3^{frac{n+1}{3}}+1Rightarrow ngeq 3n^{frac{2n+2}{3}}+3^{frac{n+1}{3}}+2$

Đây là điều vô lí.

Do đó $latex n+1$ không chia hết cho $latex 3$. Nếu $latex n+1equiv 1;(mod;3)Rightarrow 3mid n$, kéo theo $latex m^{6}equiv -1;(mod;3)$, vô lí. Do vậy phải có $latex n+1equiv -1;(mod;3)$.

Do đó tồn tại ước nguyên tố $latex p$ của $latex n+1$ mà $latex pequiv -1;(mod;3)$.

Hoàn toàn tương tự như trên, khi xét $latex n+1$ chia hết cho $latex 2$ ta cũng gặp điều vô lí, dẫn đến $latex n+1$ lẻ.

Chú ý $latex n+1$ lẻ, từ phương trình :

$latex m^{6}+3=n^{n+1}+1+(n+1);vdots ;n+1;vdots p$

Suy ra

$latex m^{6}equiv -3;(mod;p)Rightarrow left ( dfrac{-3}{p}…

View original post 113 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s