Number Theory

Huy Cao's Blog

Bài toán(Vietnamese Mathematical Olympiad 2004)

Tìm bộ ba các số nguyên dương $latex (x,y,z)$ thỏa mãn phương trình :

$latex (x+y)(1+xy)=2^z$

Lời giải :

Từ phương trình ta được $latex left{begin{matrix} x+y=2^a 1+xy=2^b end{matrix}right.(a,bin mathbb{N}^*)$.

Theo định lí Viete thì $latex x,y$ là hai nghiệm của phương trình :

$latex X^2-2^a.X+2^b-1=0;;;(*)$

Để nghiệm của $latex (*)$ nguyên thì biệt thức $latex Delta ‘=2^{2a-2}-2^b+1$ phải là một số chính phương. Ta đặt:

$latex 2^{2a-2}-2^b+1=k^2;;(kin mathbb{N});;(**)$

  • Nếu $latex 2^{b}geq 2^{2a-2}$. Ta cũng có $latex 2^{2a}=(x+y)^2geq 4xy=4(2^b-1)Rightarrow 2^{2a}+1geq 2^b$.

Như vậy thì $latex 2^{2a-2}leq 2^{b}leq 2^{2a-2}+1$.

Khi $latex 2^{b}=2^{2a-2}$ thì $latex k=1$. Khi ấy $latex (*)$ có nghiệm $latex X=2^{a-1}pm 1$. Từ đó $latex (x,y)=(2^{a-1}-1,2^{a-1}+1),(2^{a-1}+1,2^{a-1}-1)$. Thế vào phương trình ban đầu tìm được $latex z=3a-2$.

Khi $latex 2^{b}=2^{2a-2}+1$, không mấy khó khăn ta tìm được $latex (a,b)=(1,1)$. Từ đó thu được bộ $latex (x,y,z)=(1,1,2)$.

  • Nếu $latex 2^{b}< 2^{2a-2}$ thì viết $latex (**)$ dưới dạng :

$latex 2^b(2^{2a-b-2}-1)=(k-1)(k+1)$

Trường hợp $latex a=1$ hoặc…

View original post 152 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s