Phương trình nghiệm nguyên

Huy Cao's Blog

Bài toán(IMO Shortlist 2006)

Tìm các số nguyên dương $latex x,y$ thỏa mãn phương trình $latex dfrac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$.

Lời giải :

Bổ đề : Cho các số nguyên dương $latex x,m$ ($latex x>1$) và số nguyên tố $latex p$ thỏa mãn $latex mmid dfrac{x^p-1}{x-1}$. Khi đó thì $latex mequiv 0,1;;(mod;p)$

Chứng minh bổ đề :

Gọi $latex r$ là một ước nguyên tố của $latex m$.

Từ đề bài ta có

$latex mmid x^{p}-1Rightarrow x^{p}equiv 1;(mod;m)Rightarrow x^{p}equiv 1;(mod;r)Rightarrow ord_x(r)mid pRightarrow ord_x(r)in left { 1,p right }$

Nếu $latex ord_x(r)=1$ thì $latex xequiv 1;(mod;r)Rightarrow dfrac{x^{p}-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+…+x+1equiv underset{p}{underbrace{1+1+…+1}}=p;(mod;r)$

Mà $latex dfrac{x^p-1}{x-1}equiv 0;(mod;r)Rightarrow pequiv 0;(mod;r)Rightarrow p=rRightarrow mequiv 0;(mod;p)$

Nếu $latex ord_x(r)=p$, hiển nhiên $latex rnmid x$ vì nếu $latex rmid x$ thì $latex dfrac{x^p-1}{x-1}equiv 1;(mod;r)$ và điều này trái giả thiết.

Do đó áp dụng định lí $latex Fermat$ nhỏ thì $latex x^{r-1}equiv 1;(mod;r)$, suy ra $latex ord_x(r)mid r-1Rightarrow pmid r-1Rightarrow requiv 1;(mod;p)Rightarrow mequiv 1;(mod;p)$

Như vậy ta có $latex mequiv 0,1;(mod;p)$. Bổ đề được chứng minh.

View original post 65 more words

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s